DIVISIÓN

Es la operación inversa de la multiplicación. Se sucede cuando  dado el producto de dos factores ( dividendo ) y uno de los factores ( divisor ) hallamos el otro factor   ( cociente ).

DIVISIÓN EXACTA:  La división exacta se presenta cuando existe un número entero que multiplicado por el divisor da como resultado el dividendo. De lo que podemos concluir que el dividendo es múltiplo del divisor.

DIVISIÓN ENTERA O INEXACTA: Se presenta cuando no existe ningún número que multiplicado por el divisor de como resultado el dividendo. El residuo en la división inexacta siempre es diferente de cero.

REPRESENTACIÓN  GRÁFICA DE LA DIVISIÓN EXACTA

Propiedead de monotonía: 

1. Si una desigualdad la dividimos entre una igualdad, siempre y cuando la división sea exacta y el divisor sea diferente de cero, nos da como resultado una  desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

2. Si una igualdad se divide entre una desigualdad (división exacta y divisor diferente de cero) da como resultado una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor.

3. Si una desigualdad la dividimos entre  otra desigualdad de sentido contrario (división exacta y divisor diferente de cero) da como resultado una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Propiedad distributiva:  Para dividir una suma o una resta por un número, se divide cada sumando entre el número y se sumam o restan los cocientes parciales.

Otra forma de aplicar ésta propiedad es realizar primero la suma o resta indicada dentro del paréntesis, y luego desarrollar la división. Acotemos que  las divisiones deben ser exactas y el divisor diferente de cero.

Propiedad de uniformidad : Si los términos de una igualdad los dividimos por un mismo número, nos da como reultado otra igualdad.

Si  a,  b,  c      N    y siempre y cuando la división sea exacta y el número divisor diferente de cero, se cumple que si  a  =  b,  entonces   a / c  =  b / c.

Numéricamente sería :

PROBLEMAS CON NÚMEROS NATURALES

1. La suma de dos números es  1.250  y su diferencia  750.  Hallar los números.

Como sabemos que la suma de dos números más su diferencia es igual al duplo del número mayor, tenemos:

1.250  +  750  =  2.000

2.000  =   duplo del número mayor.

Para saber  cual es el número mayor :      2.000 /   2  =  1.000

Como la suma de los dos números es igual a 1.250, entonces

Número mayor   +   número menor  =  1.250

1.000  +   ?   =   1.250

número menor  =  1.250  -  1.000

número menor  =  250

luego los números pedidos son   1.000  y  250  /R.

2. ¿Cúal es el número que sumado con su duplo da  261 ?

261 Es el número que se busca, más dos veces dicho número, o sea el triplo del número buscado; luego, el número será : 

         2  x  87  = 174    duplo del número

87 +  174  =  261

DIVISORES DE UN NÚMERO

Divisor:  Asumiendo que  a    N  tenemos que  a  es divisor de  b,  cuando  a  está contenido exactamente en el número  b.

Ejemplo:  Hallar los divisores de 8.

Para hallar los divisores de 8, basta dividir al número 8 por los números que estén contenidos exactamente en el número 8.

Entonces;

NÚMEROS PRIMOS

Número primo: Es aquel número que sólo es divisible por si mismo o por la unidad, y que el resultado de dicha división sea exacta.  Ejemplo; 2, 3, 5, 7, 11 etc.

Observemos que los números 2  y  3, sólo tienen dos divisores, el mismo número y la unidad. El número 4 tiene tres divisores: 1, 2 y el 4, luego podemos afirmar que el número 4 no es primo.

Los números primos  del 1al  150  son:

 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,1 07,109,113,127,131,137,139  Y  149.

Divisibilidad por dos: Un número es divisible por dos cuando termina en cero o en cifra par:   224,  100,  26.

Divisibilidad por tres: Un número es divisible por tres cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de tres:  210,  432.

432   veamos:       4  +  3  +  2   =   9,      9  es múltiplo de tres.

Divisibilidad por cinco: Un número es divisible por cinco cuando termina en cero o en cinco.  525,  100,  130

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Para descomponer un número en factores primos, dividimos el número dado por el menor de sus divisores primos, el resultado también se divide por el menor de sus divisores primos, y así sucesivamente con los demás resultados hasta encontrar un resultado primo, que como sabemos lo dividimos por sí mismo.

Ejemplo:   Descomponer los siguientes números en factores primos

MÁXIMO COMÚN DIVISOR   M.C.D.

Para hallar el máximo común divisor de varios números, se descomponen los números dados en sus factores primos. El M.C.D. se conforma con el producto de los factores primos comunes afectados de su menor exponente.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 320,  450,  560  y  600

Método abreviado: Consiste en descomponer todos los números dados a la vez por un factor primo común a todos los números hasta donde sea posible:

vemos que no es posible seguir descomponiendo los números por  un factor común a todos, luego el  M.C.D.  será el producto de   2  x  5  =  10       M.C.D. = 10

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO   m.c.m.

Ejemplo: Hallar el m.c.m de   18,   24,   40

PROBLEMAS DE M.C.D. y m.c.m.

1. Se tienen 3 cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja

Hallamos el M.C.D. de 1600,  2000  y  3392  para saber cuanto pesa cada bloque:

Luego el M.C.D  =  2  X  2  X  2  X  2  =  16.

Cada bloque pesa  16  libras  / R.

Para saber  cuántos bloques hay en cada caja:

En la primera caja   1600    16  =  100 bloques

En la segunda caja   2000    16  0  125  bloques

En la tercera caja 3392    16  =  212 bloques.

2. ¿Cuál es la menor suma de dinero con la que se puede comprar un número exacto de libros de  $3,  $4,  $5,  y $8  cada uno  y cuantos libros de cada precio podría comprar con esa suma?

Hallamos el m.c.m: