3.1 Análisis trigonométrico
3.1.1 Objetivo
A partir de las identidades fundamentales vistas en la unidad anterior, se deben aplicar ahora en la demostración de las identidades trigonométricas y en la resolución de ecuaciones con identidades.
El análisis trigonométrico hace referencia básicamente a las relaciones existentes entre las funciones, identidades, ecuaciones trigonométricas y fórmulas de adición sustracción y reducción de ángulos.
3.1.2 Relaciones entre funciones trigonométricas
Para deducir las relaciones fundamentales que existen entre las funciones trigonométricas, observemos el siguiente triángulo:
Si se compara los resultados encontrados para el valor de la tangente y la cotangente, se puede deducir que éstas dos funciones son inversas, luego entonces:
Igualmente pasa al comparar las funciones secante y coseno de A, y también en el caso de las funciones cosecante y seno de A. En los dos casos se puede decir que las funciones son inversas. Veamos:
3.1.3 Identidades trigonométricas
Se entiende por Identidad trigonométrica como una igualdad que contiene varias funciones trigonométricas y que toma un valor verdadero para todos y cada uno de los valores que se le den a los ángulos para los cuales están definidas estas funciones.
Para desarrollar una identidad trigonométrica se puede emplear cualquiera de los siguientes procedimientos:
3.1.4 Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad que posee una o varias funciones trigonométricas y que satisface solo algunos valores de los ángulos.
Para la solución de las ecuaciones trigonométricas se tiene en cuenta los conceptos utilizados en el desarrollo de las ecuaciones algebraicas, es decir que mediante varios procesos matemáticos se encuentra el valor de la incógnita que satisface a la ecuación, para que esta adquiera el carácter de identidad o sea verdadera.
Es preciso recordar el valor que toman las funciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante donde se encuentren ubicadas:
3.1.6 Fórmulas para la suma y resta de ángulos
En esta parte de la trigonometría se estudiará el desarrollo de las diferentes fórmulas para la suma, resta y otras operaciones fundamentales entre ángulos.
3.1.6.1 Funciones Seno y Coseno de la suma de dos ángulos
Hasta ahora se han demostrado las fórmulas de las funciones trigonométricas respecto de un ángulo, pero se hace necesario ahora conocer el desarrollo cuando se plantea una suma o diferencia de dos ángulos.
De igual manera se puede decir que los triángulos rectángulos EDP y OFE son semejantes entre sí aplicando los conceptos de semejanza de triángulos vistos en unidades pasadas.
Utilizando la misma figura y desarrollando un proceso similar al anterior, encontramos la fórmula para cosen de una suma de ángulos:
Cos (A + B) = Cos A Cos B - Sen A Sen B
Estas dos fórmulas sirven para deducir las del seno y coseno de la diferencia de dos ángulos:
Sen (A - B) = Sen A Cos B - Sen B Cos A
Cos (A - B) = Cos A Cos B + Sen A Sen B
La fórmula para la tangente de la suma y de la diferencia de dos ángulos, se desarrolla a partir de las encontradas para el seno y coseno. Recordemos que la función tangente viene dada por la expresión:
y reemplazando los valores se obtiene:
Ejemplos:
1. Demostrar que Sen (60° + x) - Sen (60° - x) = Sen x
Aplicamos las fórmulas encontradas para el seno de la suma y la diferencia de dos ángulos y reemplazamos A = 60° y B = x
Como: Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos A
Sen (A - B) = Sen A Cos B - Sen B Cos A
2. Calcular Cos 105°
El ángulo 105° se puede expresar como la suma de dos ángulos, es decir:
Cos 105° = Cos (60° + 45°) y como Cos (A + B) = Cos A Cos B - Sen A Sen B
Entonces:
Cos (60° + 45°) = Cos 60° Cos 45° - Sen 60° Sen 45°
3. Calcular Tg 105°
Tg 105° = Tg (60° + 45°), utilizamos la fórmula:
3.1.7 Identidades trigonométricas para ángulos dobles
Veamos algunas demostraciones, en las que utilizaremos básicamente las fórmulas para Seno, Coseno y Tangente de la suma o diferencia de dos ángulos.
Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos A
Cos (A + B) = Cos A Cos B - Sen A Sen B
Demostrar:
1. Sen 2A = 2 Sen A Cos A
Sen 2A = Sen (A + A)
Sen (A + A) = Sen A Cos A + Sen A Cos A
Sen (A + A) = 2 Sen A Cos A
Sen 2A = 2 Sen A Cos A
2. Cos 2A = Cos2 A - Sen2 A
Cos 2A = Cos (A + A)
Cos (A + A) = Cos A Cos B - Sen A Sen B
Cos (A + A) = Cos A Cos A - Sen A Sen A
Cos (A + A) = Cos2 A - Sen2 A
Cos 2A = Cos2 A - Sen2 A
3. Demostrar:
Retomemos la fórmula del coseno del ángulo doble, para desarrollar otras fórmulas generadas a partir de la fórmula inicial.
Recordemos que la ecuación fundamental de la trigonometría viene dada por:
Sen2 A + Cos2 A = 1
entonces Cos2 A = 1 - Sen2 A
y reemplazando en la fórmula
Cos 2A = Cos2 A - Sen2 A
se tiene:
Cos 2A = (1 - Sen2 A) - Sen2 A
Cos 2A = 1 - Sen2 A - Sen2 A
Cos 2A = 1 - 2Sen2
A Ahora, si de Sen2 A + Cos2 A = 1 se despeja Sen2 A, resulta:
Sen2 A = 1 - Cos2A, que al reemplazarlo en la fórmula:
Cos 2A = Cos2 A - Sen2 A
se tiene:
Cos 2A = Cos2 A - (1 - Cos2A)
Cos 2A = Cos2 A -1 + Cos2A
Cos 2A = 2Cos2 A -1
Quedando demostrada la identidad.
Ahora calculemos el valor del lado c, para hallar las otras funciones: Se aplica el teorema de Pitágoras:
3.1.8.1 Transformación de sumas o diferencias de dos funciones en productos.
En varias aplicaciones para la demostración de identidades trigonométricas se hace preciso expresar un producto de dos funciones trigonométricas como el resultado de una suma o una diferencia , lo que a través de procesos similares a los que hemos ido estudiando se pueden obtener las siguientes identidades:
Las anteriores identidades se logran a partir de las fórmulas halladas para la suma y la resta de la función Seno y Coseno, realizando la suma miembro a miembro entre las funciones.
3.1.8.2 Transformación de un producto entre funciones a sumas o diferencias.
De igual manera también es necesario lograr expresar las sumas o diferencias de las funciones trigonométricas como resultados de productos, y se pueden desarrollar a partir de las identidades anteriores realizando un proceso inverso al utilizado en hallar las identidades trigonométricas de una suma o diferencia de dos funciones trigonométricas.
Estas identidades serían:
3.1.8.3 Ejemplos de aplicación
1. Expresar como un producto Cos 60° + Cos 30° En este caso x = 60°, y = 30°
2. Comprobar que la ecuación:
