FISICA 10
UNIDAD DOS
2. Elementos matemáticos
2.1 Potencias de 10
Es usual en el trabajo de física encontrar números que tengan un valor demasiado grande como pueden llegar a ser la masa del Sol ( 1990000000000000000000000000000 Kg.) y peor aún si se da en g o números extremadamente pequeños como el radio del átomo de Bohr 0,0000000000529 m, ya sean grandes o pequeños, la verdad es que son demasiado extensos para escribirlos, imagínese resolviendo ejercicios donde intervengan estos números además que son elementos de error en su solución.
Es por tal razón, que utilizamos las potencias de 10 o notación científica como también se le conoce, la cual consiste en utilizar una abreviatura que exprese el valor correspondiente en forma corta y de fácil lectura y comprensión.
Para utilizarla, se ubica el valor de la medida entre números de uno a diez, en los cuales se puede utilizar números decimales seguido de la correspondiente potencia de 10. Por ejemplo, la masa del Sol será 1,99 X 1030 Kg. Ubicamos, el 199 multiplicado por 10 a la 30 que representa la potencia de 10 correspondiente a los 30 ceros o lugares que preceden a la coma 1,99 (esto indica que hay que multiplicar el 1,99 treinta veces por 10 para obtener el valor de la masa del Sol) igualmente se utilizan para expresar números cortos, como el radio del átomo de Bohr 5,29 x10-11 m que indica, que el 5 esta precedido de 11 ceros o lugares antes de la coma.
Con el fin de reducir más la nomenclatura, se utilizan algunos prefijos los cuales tienen cada uno un valor
Tabla prefijos:
2.1.1.2. Multiplicación
Para multiplicar números expresados en potencias de 10 o notación científica se multiplican los números de la forma usual y se suman los exponentes de las potencias de 10. Para el caso particular que se quiera multiplicar un número entero con uno expresado en notación científica, se multiplican los números y se deja la potencia de10, si se desea se puede expresar el resultado de la manera más conveniente.
2.1.1.3. División
Para solucionar ejercicios de división con números expresados en potencias de 10 o notación científica, se dividen los números como se realiza comúnmente y deben restar los exponentes de las potencias de 10. De igual manera, que para la multiplicación para dividir números expresados en potencias de 10 con números enteros, se dividen los números y se restan los exponentes.
2.1.1.4. Potenciación
Si un número en notación científica, se encuentra elevado a una potencia, se debe aplicar la potencia al número y multiplicar los exponentes.
2.2. Cifras significativas
Un experimento, se hace con el fin de verificar o encontrar una teoría basados en los datos tomados, y es aquí donde entran a trabajar estas cifras significativas, puesto que éstas limitan el margen de error de los datos obtenidos del experimento, que entre mas cifras se tengan, mayor confiabilidad tendrá el resultado, por ejemplo la masa de un lápiz es 3,4 g, en este dato existen dos cifras significativas: una precisa que es el 3, y otra dudosa que es el 4, pero si el dato sobre la masa del lápiz fuera 3,46 g, se tiene dos cifras precisa que serian el 3 y 4, y una dudosa se tendría el 6.
En la practica del trabajo experimental y de cálculos, se limita a un número de cifras significativas fijo para todos los datos, es así que si se toman como base tres cifras significativas todos los datos serán de la forma a,bc donde a, b y c representan cualquier número.
Si se está buscando la aproximación de la tercera cifra (c), se hace de acuerdo al valor de la cuarta cifra de la siguiente manera, si se encuentra entre 0 y 4 se aproxima por defecto, luego la tercera no cambia, pero si está entre 6 y 9 se aproxima por exceso y la tercera cifra aumenta una unidad, en el caso tal en que la cuarta cifra sea el 5 se aproxima por conveniencia de la persona que este desarrollando el experimento.
Ejemplos: En los siguientes ejemplos, se dan los números teniendo en cuenta tres cifras significativas.
2.3. Sistema de medidas
Es muy importante, en el trabajo realizado en física, contar con unos sistemas de medidas, para expresar los datos tomados o dados de acuerdo al lugar de trabajo o costumbre de trabajo, así como en América Latina se trabaja por lo general con los sistemas MKS y CGS, en países anglosajones se utiliza el sistema inglés. No obstante existe, el sistema internacional (SI) el cual fue creado en 1960, con el fin de unificar las unidades en una sola forma buscando que el mundo científico hable un mismo idioma (en unidades claro esta) esté sistema está basado en las magnitudes fundamentales (las cuales trataremos en el siguiente numeral), como factor para describir otras magnitudes derivadas. Magnitudes fundamentales.
2.4. Magnitudes fundamentales
Son las magnitudes que se definen por sí mismas y no requieren la necesidad de otras para ser definidas, en el siguiente cuadro se encuentran con sus respectivas definiciones y unidad patrón de medida.
El metro, es la longitud de la trayectoria que recorre la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. El kilogramo, es la masa del prototipo, cilindro de platino-iridio de 3,9 cm de diámetro y 3,9 cm de altura. El segundo, es la duración de 9,192631770 periodos de la radiación entre dos niveles del estado base del átomo de cesio133.
El ampere, es la corriente que se presenta cuando se ubican dos conductores paralelos y restos (infinitos y de área despreciable) a una distancia de un metro, los cuales producirán una fuerza de 2x10-7 N por metro de longitud. El Kelvin, corresponde a la 1/273.16 parte de la temperatura del punto triple del agua.
La mol, es la cantidad de sustancia de un sistema que posea tantas entidades elementales como átomos puedan haber en 0,012 Kg del carbono 12. La candela, es la intensidad luminosa en dirección perpendicular sobre un área igual a 1/600000 m2 del cuerpo negro bajo las condiciones de congelación del platino a presión de 101.325 N/m2 .
2.5. Magnitudes derivadas
Debido al extenso trabajo en física, se necesitan de otras magnitudes, las cuales se encuentran en función de las magnitudes fundamentales, por medio de expresiones matemáticas y por eso se conocen con el nombre de magnitudes derivadas como pueden ser: la velocidad, la fuerza, la aceleración, el trabajo, campo eléctrico o magnético etc.
En el caso de la fuerza como el de muchas otras magnitudes, se le ha dado un nombre particular a la unidad de medida, que por lo general es el nombre o apellido del científico que trabajo en determinado campo; a continuación se dan algunos ejemplos:
2.6. Análisis dimensional
Este análisis, se realiza con el fin de ver el cómo las magnitudes derivadas dependen de las magnitudes fundamentales y como elemento de prueba para verificar si una respuesta esta correcta pues si se está buscando el valor de una fuerza y la respuesta nos da en dimensiones de potencia obviamente estará mal el resultado.
Para realizar esto, se le asigna a cada magnitud fundamental, la inicial en mayúsculas así para la masa (M), para la longitud (L) y para el tiempo (T), se trabajara solamente con estas tres puesto que para el manejo y estudio que se realizara en el libro y aun en cursos superiores, estas tres son suficientes.
2.6.1. Como realizar un análisis dimensional
De acuerdo, a la definición de cada magnitud derivada se unifica la correspondiente inicial de la magnitud fundamental y el resultado debe tener las mismas unidades que tiene la magnitud pedida.
2.7. Funciones
Existe una función entre dos magnitudes, cuando el valor número de una depende del valor que puede tomar la otra, a la primera se le conoce con el nombre de variable dependiente y la segunda con el nombre de variable independiente; es así como la expresión X = 2(t al cuadrado) representa una función donde el valor de X depende del que se le dé a t, pues si t toma el valor de 2, X será igual a 8. Si t toma el valor de 3, X será igual a 18. Para encontrar, tales valores debemos tomar el valor que se le dé a t, se reemplaza en la expresión matemática y se resuelve la operación indicada, utilizando este hecho completemos el siguiente tabla:
Para gráficar esta función ubicamos los pares de puntos en forma de parejas ordenadas en un plano cartesiano. Donde t que es la variable independiente se ubica en el eje x ,y X que es la variable dependiente se ubica en el eje y.
Veamos la gráfica de la anterior función:
Como se puede ver el ejemplo anterior corresponde a una función cuadrática, pues la variable independiente t se encuentra elevada al cuadrado, su gráfica es una parábola que es cóncava hacia arriba si el coeficiente de t2 es positivo, y cóncava hacia abajo si el coeficiente de t2 es negativo.
Este tipo de función y gráfica se utiliza frecuentemente en el estudio de movimientos acelerados, como puede ser el de caída libre o el análisis de la componente vertical del movimiento parabólico.
Existen también funciones lineales, las cuales se utilizan en el análisis del movimiento que tengan la forma de y = mX+b, donde b indica el intercepto con el eje y, m es la pendiente que cuando es positiva se considera una función creciente, y si es negativa se considera que es una función decreciente.
Como ejemplo vamos a trabajar con la ecuación X = 4t + 3, ésta expresión representa un movimiento rectilíneo, cuya velocidad es 4 y corta el eje X (posición). A continuación, se muestra la tabla de valores y la gráfica para tal expresión:
2.7.1. Aplicación de funciones
Una aplicación muy cotidiana de las funciones, es el representar dos tipos de proporción, que pueden existir entre dos variables, las cuales son: la directamente proporcional y la inversamente proporcional; se considera que existe una proporción directa cuando tanto a lado y lado de la expresión que representa la función aumenta o disminuye.
Como ejemplo, tomemos un resorte al cual le vamos agregando barras de plomo de igual masa y vemos que entre mayor número de barras tengan, mayor se elongara el resorte (distancia que se alarga), esta relación se conoce con el nombre de ley de Hooke (F = -kx). Está ley, explica el comportamiento de una fuerza elástica a mayor masa genera mayor fuerza (F) , la cual es aplicada sobre el resorte o caucho el cual se elonga (X).
Otro tipo de proporción, es el inversamente proporcional que se caracteriza, porque mientras que un lado de la expresión representada por la función aumenta, el otro disminuye y viceversa.
Un ejemplo de este tipo de proporción es la ley de Coulomb, la cual representa la relación entre la fuerza eléctrica en función de las cargas y la distancia que las separa.
En este caso las cargas son constantes y lo que varia es la distancia entre éstas.
Coulomb q1 y q2 , son los valores de las cargas y r es la distancia que separa las cargas que se encuentra elevada al cuadrado.
La ley de Coulomb representa una proporción inversa puesto que a mayor distancia entre las cargas, la fuerza entre estas disminuye. Este tipo de relación, se conoce con el nombre del inverso al cuadrado que se aplica en otras situaciones (ley gravitacional o ley de Coulomb para el magnetismo)
Es importante recordar, que siempre que se tenga una proporción ya sea directa o inversa, se puede plantear una expresión matemática (ecuación) que explique tal comportamiento incluyendo una constante de proporcionalidad de las variables.
Para la ley de Hooke la constante es K constante del resorte y para la ley de Coulomb es K constante de Coulomb.
